估算法

雖然大多數考題數字皆有設計過,但若選項間數字差異很大,懂得一些估算技巧,可以增加答題速度。以下面這題為例:(92學測補考)

南、北極的冰帽如果真的全部融化,粗略預估全球海平面最可能會上升多少高度?
(提示:全球海洋的平均深度約為 $4000\ \mathrm{m}$;南極大陸的冰層厚度約 $2.2\ \mathrm{km}$。面積約為 $13,000,000\ \mathrm{km}^2$;格林蘭的面積約 $1,700,000\ \mathrm{km}^2$,冰層厚度約 $1.5\ \mathrm{km}$;地球半徑約 $6400\ \mathrm{km}$)
(A) 60~80 毫米 (B) 60~80 公分 (C) 60~80 公尺 (D) 600~800 公尺 (E) 6~8 公里

列出算式:

善用科學記號,有助於我們接下來要進行的簡化!(算式內單位皆統一為公斤)
$$
上升高度 = \frac{體積增加}{海洋面積} = \frac{2.2 \times 1.3 \times 10^7 + 1.5 \times 1.7 \times 10^6}{4 \pi \times (6.4 \times 10^3)^2 \times 0.7}
$$

太難算了吧!

這麼一長串的算式,基本上科技進步的現代,都是丟給計算機之神casio 991ES解決。然而,考場如戰場,敲計算機其實也是需要時間的,更何況這個戰場(學測)還不給帶計算機。因此,正是估算法大顯神威的時候了。

估算法登場!

估算法三大原則如下:

  • 先算次方
  • 加減先算,乘除要約
  • 一個變大,一個變小

先算次方

先執行第一原則,我們把科學記號的 10 的次方全部拆出來,上述算式可以拆成:
$$
\frac{2.2 \times 1.3 + 1.5 \times 1.7 \times 0.1}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7} \times
\frac{10^7}{10^{3 \times 2}} =
\frac{2.2 \times 1.3 + 1.5 \times 1.7 \times 0.1}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7} \times 10
$$
其實大部分的題目,做到這裡,答案就呼之欲出了。

不過這題要注意,各選項位數並沒有差上很多,且前項分子可能比分母大一個數量級,所以分數部分也要進一步估算,通常是需要一點經驗的:

進一步估算

估算的時候,別忘了使用$\approx$(或是台灣國高中以下常用$\fallingdotseq$)代表大約等於喔。

按照第二原則,先處理加減,第一步將明顯小了十倍的 $1.5 \times 1.7 \times 0.1$ 直接拔掉:

$$
\frac{2.2 \times 1.3 + 1.5 \times 1.7 \times 0.1}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7} \approx
\frac{2.2 \times 1.3}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7}
$$

接著利用第三原則將 $2.2 \times 1.3$ 變成 $2.0 \times 1.5$:

$$
\frac{2.2 \times 1.3}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7}\approx
\frac{2.0 \times 1.5}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7}
= \frac{3}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7}
$$

最後將 3 和 $\pi\ (\approx 3.14)$ 約掉。

$$
\frac{3}{4 \pi \times 6.4^2 \times 0.7} \approx \frac{1}{4 \times 6.4^2 \times 0.7}
$$

接下來的計算就簡單了,可以直接硬算。但這篇我們就堅持估算法到底,當作估算法的練習吧!

為了方便起見,這裡可能要做暴力一點的估算,直接拿整數近似,一樣用到第三原則,把 $6.4^2 \times 0.7$ 變成 $6^2 \times 1$:
$$
\frac{1}{4 \times 6.4^2 \times 0.7} \approx
\frac{1}{4 \times 6^2 \times 1} =
\frac{1}{4 \times 36} =
\frac{1}{144} =
\frac{1000}{144} \times 10^{-3}
$$

最後回到第一原則,把次方拿出來。

整理結果

綜合第一步拿到的 10 的一次方,可以知道答案約是:
$$
\frac{1000}{144} \times 10^{-2}\ \mathrm{km}
$$

前面那項大約為 7(其實選項也告訴我們,是在 6 到 8 之間),所以答案會落在 $7 \times 10^{-2}\ \mathrm{km}$ 附近,也就是 $70\ \mathrm{m}$ 左右,因此答案是(C)。

過成看起來有些冗長,但其實精熟起來速度是很快的,甚至在別人下筆列橫式計算時,你已經秒殺這題了。

 
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