這是基礎物理補充文章的一部分。
微分
微分，可以求出一個函數的斜率函數，只要把斜率函數內的任何一個x座標帶入，就能得到原本函數在x座標的斜率。
以下圖來說，求出一點的斜率似乎沒有很直觀的數學算式，要有斜率就必須要有一條線，要定出一條線則必須在平面上找到兩個點。
所以這邊用的方式就是，除了我們要的點之外，先另外取一個點 $x+h$，畫出割線。這時候發揮想像力，把另取的點 $x+h$ 沿著函數，不斷往 $x$ 的位置移動，越靠近 $x$ 越好，但是不能碰到 $x$ ，不然重合成一個點的話就無法決定一條線了。
這樣我們就能得到一個很接近切線的割線，同時這個割線的斜率也會很接近函數在該點的斜率。現在以函數 $f(x)=x^2$ 當作例子，用算式求出斜率的過程表示如下：
$$
x點的斜率 = \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} =
\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} =
\frac{2xh - h^2}{h} = 2x+h
$$
因為我們不斷把兩個點靠近，$h$ 就會縮小到可以忽略的地步，因此上述的答案就變成 $2x$，這正是 $f(x)=x^2$ 的斜率函數，或著用更正式的名字，叫「導函數」。
而這個過程，我們會說是「把 $f(x)$ 對 $x$ 微分」。這套工具是牛頓為了解決運動學上的問題所發明的，只要把 $x$-$t$ 圖中的 $x$ 對 $t$ 微分，就可以求出任何時刻位置對時間的變化，也就是速度。
牛頓除了這項工具之外，他還有另外一項利器：積分。
積分
積分，可以求出一個函數底下和橫軸所夾的面積。
這個面積所形成的函數 $F(x)$，就剛好是微分的反過來操作。只要把 $F(x)$ 微分之後，就可以得到原本的函數 $f(x)$。
如圖，積分的想法就是把一個不規則的函數切成很多很多小塊的長方形。原本的函數面積很複雜，沒有公式可以算，但切成小塊的長方形之後，我們就可以分別計算長方形的面積公式，加起來，就可以得到整塊函數底下的面積。圖中的長方形面積也許不夠準，但是只要切越多塊，所有長方形的面積就會越接近函數和橫軸所夾的真正面積。
通常在計算積分的時候，只要把微分的法則反過來運用就成了。不過也因為沒有較直接的運算方法，所以積分的運算通常比微分複雜，甚至會有無法直接積分的情況發生。
其他關於微積分：
除了牛頓之外，另一個科學家：萊布尼茲，也獨立發展出了這套工具，他和牛頓常常被視為微積分的發明者。不過這套工具一直受到質疑，因為它的「無限接近」的概念一直沒有數學上嚴謹的定義，這個問題一直到19世紀時才被一些數學家所解決，並成為現在大學生最入門的科目：「微積分Calculous」。（英文Calculous是計算的意思，不過因為教學內容主要還是要提供微積分這套工具，因此中文名稱才稱呼叫微積分。）
參考資料
- 伊恩‧史都華 改變世界的17個方程式
- 容志輝老師 101-1微積分甲上 課程筆記
- Salas, Calculous one and several variables 10/e
圖片來源
- Salas, Calculous one and several variables 10/e