高中基礎物理補充:終端速度簡單介紹

是物體在下落過程中所能達到的最大速度

這是基礎物理補充文章的一部分。


簡單的阻力公式

一般在計算自由落體時,我們忽略了空氣阻力,但實際上空氣是有阻力的。在普通物理學裡面我們可以用一個簡單的式子來估計阻力 $f$:
$$
f = \frac{1}{2}C\rho Av^2=kv^2
$$

  • $C$, $k$:常數
  • $\rho$:空氣密度
  • $A$:截面積
  • $v$:速率

因為下降的速率越快,劃破空氣越用力,所以空氣給的阻力就會越大,因此阻力是和下落速度有關的,即為 $f=kv^2$,或在一些學測考題裡面,會用 $f=kv$ 來估計阻力,

兩者只是不同的模型而已,並沒有對錯,只有不同情況下,哪個比較準的問題。

終端速度的推導

也因為阻力和速率有關,下落速率越大,可以從牛頓第二運動定律得出:
$$
F_合 = ma = mg - kv^2 \
a = g - \frac{kv^2}{m}
$$
因此加速度會隨著速率的上升而變小,可大略畫出 $v$-$t$ 圖如下(斜率即加速度):

當加速度減小到零的時候,速度變成一直線,這時候就稱為「終端速度」,是物體在下落過程中所能達到的最大速度

附帶一提,物體是永遠無法達到終端速度的,只會不斷接近它。終端速度所形成的直線是一條「漸進線」,物體的速度曲線會逐漸靠近它,但永不相交。

參考資料

  • Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics
  • 102學測自然科試題

圖片來源

  • 102學測自然科試題
 
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