高中物理

四大步驟

看到題目不知道要做什麼？一個不熟悉的題型應該從何下手？就算是身經百戰的考生，可能今年大考又有新的題型。除了基本題型熟練之外，更重要的是訓練自己不害怕新的題型，能夠運用所學穩健地破解題目。就我觀察，一般解題的高手都有一個自己習慣的解題步驟，可能是自然而然產生的，也可能是自己制定下來自己習慣的。因此在這邊將自己寫物理時候的習慣步驟整理出來分享給大家：

這是基礎物理補充文章的一部分。

偉大的物理學家，也幾乎是近世普物課程之始祖：費曼 (Feynman)，在他的課程中發表了他對能量的看法：

我們發現了一個事實，有一個定律掌控了到目前為止我們所知道的自然現象，而這個定律在我們所知範圍內沒有任何的例外。而且以我們目前所知，它是準確的。這個定律被稱為「能量守恆」。它說明了有一個特定的物理量，我們稱之為「能量」，這個量在自然狀態經歷了各種變化後，並不會改變。也許聽來有些抽象，因為它是一個數學的原理：它說明了有一個量在一些事件發生時不會改變。而且並不是任何具體的物理過程描述，卻僅是一個奇特的事實：我們可以先對系統計算這些量，而當系統經歷了一些變化之後，如果我們在去計算這些量，會發現這些量加起來並沒有改變。（就好向西洋棋裡面的『象』，它只能斜著走，因此如果它原本在黑色的格字上，不管它中間動了幾步以及如何動，還是會在黑色的格子上，這就是因為這是西洋棋天生的『規則』）

簡單歸納起來，就是

一個間接被定義的物理量，這個量可以在物質中轉換，並且會守恆。

以下附上英文原文：

There is a fact, or if you wish, a law, governing all natural phenomena that are known to date. There is no known exception to this law—it is exact so far as we know. The law is called the conservation of energy. It states that there is a certain quantity, which we call energy, that does not change in the manifold changes which nature undergoes. That is a most abstract idea, because it is a mathematical principle; it says that there is a numerical quantity which does not change when something happens. It is not a description of a mechanism, or anything concrete; it is just a strange fact that we can calculate some number and when we finish watching nature go through her tricks and calculate the number again, it is the same. (Something like the bishop on a red square, and after a number of moves—details unknown—it is still on some red square. It is a law of this nature.)

這是基礎物理補充文章的一部分。

法拉第發現了電磁感應的現象之後，相關的應用產品就開始發展，但這時候人們主要還是注重於電磁感應現象的應用，尚未有一套理論基礎被發展出來。

馬克士威正巧誕生於法拉第發現電磁感應現象那一年，這似乎註定著他之後在電磁學上的偉大貢獻：為電與磁的現象建立一套完整的數學理論，並且用他的方程式們預測電磁波的存在，以及計算光速。

馬克士威方程式一共有四條：

高斯定律

從一個地方產生或消失的電場大小，跟那裡的電荷密度有關。
$$
\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}
$$

高斯磁場定律

從一個地方產生或消失的磁場量是零。（即磁場是封閉的）
$$
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
$$

馬克士威-法拉第方程式

一個變化的磁場，會產生一個抵抗其變化的電場。
$$
\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
$$

馬克士威-安培方程式

一個變化的電場或是一道電流( $J$ 是電流密度)，會產生一個順應其變化的磁場。
$$
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right)
$$

小結

其中用到了一些比較進階的微積分符號，這邊就不多作深入說明，只是秀給大家看這些和現代科技息息相關的數學式。因為電磁波是由電場和磁場依據這些方程式互相感應而生成，所以理所當然地馬克士威就計算出了電磁波的速度。

參考資料

• 維基百科：馬克士威方程式與相關頁面
• 伊恩‧史都華 改變世界的17個方程式

這是基礎物理補充文章的一部分。

為什麼在想像原子模型時，都是說「電子受到原子核的靜電力吸引」而沒有考慮到「電子和原子核的萬有引力吸引」？這邊利用估算法稍微估計一下兩個力的大小差別，就會發現原因，以下以氫原子為例：

重力

$$
F_g = \frac{GM_1M_2}{r^2} =
\frac{(6.67 \times 10^{-11})(9.11 \times 10^{-31})(1.67 \times 10^{-27})}{r^2} \approx
\frac{10^{-67}}{r^2}
$$

電力

$$
F_e = \frac{kQ_1Q_2}{r^2} =
\frac{(9 \times 10^9)(1.6 \times 10^{-19})^2}{r^2}\approx
\frac{10^{-28}}{r^2}
$$

於是

$$
\frac{F_g}{F_e} \approx 10^{-39}
$$
兩個力完全不在同一個數量級上面。

原子內的電力比重力還要大上超過幾千兆倍，所以重力幾乎都被忽略掉了。一般在計算原子內的電子軌域時，主要考慮的還是原子核和電子間的引力，再加上其他電子對電子的引力作修正。

這是基礎物理補充文章的一部分。

簡單的阻力公式

一般在計算自由落體時，我們忽略了空氣阻力，但實際上空氣是有阻力的。在普通物理學裡面我們可以用一個簡單的式子來估計阻力 $f$：
$$
f = \frac{1}{2}C\rho Av^2=kv^2
$$

• $C$, $k$：常數
• $\rho$：空氣密度
• $A$：截面積
• $v$：速率

因為下降的速率越快，劃破空氣越用力，所以空氣給的阻力就會越大，因此阻力是和下落速度有關的，即為 $f=kv^2$，或在一些學測考題裡面，會用 $f=kv$ 來估計阻力，

兩者只是不同的模型而已，並沒有對錯，只有不同情況下，哪個比較準的問題。

終端速度的推導

也因為阻力和速率有關，下落速率越大，可以從牛頓第二運動定律得出：
$$
F_合 = ma = mg - kv^2 \
a = g - \frac{kv^2}{m}
$$
因此加速度會隨著速率的上升而變小，可大略畫出 $v$-$t$ 圖如下（斜率即加速度）：

當加速度減小到零的時候，速度變成一直線，這時候就稱為「終端速度」，是物體在下落過程中所能達到的最大速度。

附帶一提，物體是永遠無法達到終端速度的，只會不斷接近它。終端速度所形成的直線是一條「漸進線」，物體的速度曲線會逐漸靠近它，但永不相交。

參考資料

• Halliday & Resnick, Fundamentals of Physics
• 102學測自然科試題

圖片來源

• 102學測自然科試題